數值分析是理論微積分無限精確性與電腦硬體有限離散限制之間的嚴謹橋樑。本頁介紹極限、連續性與可微性的基礎定義，以說明雖然微積分提供「精確」的解析目標，但數值計算僅能提供受限於經典實分析中所定義之容許誤差（$\varepsilon$）與區間（$\delta$）的「近似」路徑。
1. 基礎：極限與序列逼近
我們從極限的理論抽象轉向計算現實：處理器無法真正逼近零；它只能趨近於 機器精度。
定義 1.1：極限
若函數 $f$ 定義在集合 $X$ 上，且在 $x_0$ 處的極限為 $L$，記作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$，則對於任意正實數 $\varepsilon$，存在正數 $\delta$，使得只要 $x \in X$ 且 $0 < |x - x_0| < \delta$，就有 $|f(x) - L| < \varepsilon$。
定義 1.3：序列收斂
若序列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 滿足對任意 $\epsilon > 0$，存在正整數 $N(\epsilon)$，使得當 $n > N(\epsilon)$ 時，均有 $|x_n - x| < \epsilon$，則該序列的極限為 $x$。這正是我們 迭代算法。
2. 連續性與可微性：安全要求
在數值軟體中， 連續性（定義 1.2） 以及 可微性（定義 1.5） 不僅僅是學術上的性質，更是數值穩定性的「安全要求」。 定理 1.6 證明了若函數在 $x_0$ 可微，則其在 $x_0$ 連續，確保微小的測量誤差不會導致輸出劇烈跳躍。
🎯 現實案例：理想氣體定律
考慮 $PV = nRT$。在理論微積分中，我們假設變數為精確值。在數值計算中，我們承認 $P$ 與 $V$ 是測量序列的極限。
$T = \frac{PV}{nR} = \frac{(1.00)(0.100)}{(0.00420)(0.08206)} = 290.15 \text{ K} = 17^\circ\text{C}$